हम बताते हैं कि गणित में जोड़ या जोड़ क्या है, इसका इतिहास, गुण और उदाहरण। साथ ही, भिन्नों को जोड़ने की विधियाँ।
राशि क्या है?
जोड़ या जोड़ एक मौलिक गणितीय संक्रिया है, जिसमें a . में नए तत्वों का समावेश होता है सेट संख्यात्मक, यानी दो संख्याओं का एक नया प्राप्त करने के लिए संलयन, जो पिछले दो के कुल मूल्य को व्यक्त करता है। जोड़ वह मूल सिद्धांत है जिसके साथ हम संख्याओं से जुड़ना सीखते हैं, क्योंकि एक-एक करके (1, 2, 3, 4 ...) गिनने के तथ्य में 1 (1 + 0, 1 + 1, 1 +) जोड़ना शामिल है। 2, 1 + 3…).
योग एक अंकगणितीय प्रकार का ऑपरेशन है, जो विभिन्न प्रकार की संख्याओं के संयोजन की अनुमति देता है: प्राकृतिक, पूर्णांकों, भिन्न, वास्तविक, परिमेय, अपरिमेय और जटिल, साथ ही उनसे जुड़ी संरचनाएं, जैसे सदिश स्थान या आव्यूह। पर बीजगणित आधुनिकतावाद को प्रतीक + द्वारा दर्शाया जाता है, जोड़े जाने वाले तत्वों के बीच डाला जाता है, और मौखिक रूप से "अधिक" के रूप में व्यक्त किया जाता है: "1 + 1 = 2" पढ़ा जाता है "एक प्लस एक बराबर दो"।
दूसरी ओर, जोड़े जाने वाले तत्वों को "जोड़" के रूप में जाना जाता है, और अंत में प्राप्त संख्या को "परिणाम" कहा जाता है।
राशि का इतिहास
जोड़ ज्ञात सबसे पुराने और सबसे बुनियादी गणितीय कार्यों में से एक है। ऐसा माना जाता है कि मनुष्य नवपाषाण युग से, इसने पहले से ही प्राथमिक गणितीय सिद्धांतों को संभाला था, जिनमें से अनिवार्य रूप से जोड़ और घटाव होगा, क्योंकि ये संचालन वर्ष के समय के अनुसार बढ़ने और घटने वाली कृषि आपूर्ति के सामने सबूत के लिए आसान हैं।
हालांकि, प्राकृतिक और भिन्नात्मक संख्याओं दोनों के लिए जोड़ और इसके आवेदन का अध्ययन प्राचीन मिस्रवासियों के साथ शुरू हुआ, और बेबीलोनियों के साथ और विशेष रूप से चीनी और हिंदुओं के साथ और अधिक जटिल तरीकों से विकसित होना जारी रहा, जो संख्याओं को जोड़ने वाले पहले व्यक्ति थे। . लेकिन केवल में पुनर्जागरण काल बैंकिंग बूम ने दशमलव और अश्लील लघुगणक का योग लगाया।
राशि के गुण
गणितीय संक्रिया के रूप में जोड़ में गुणों का एक समूह होता है, जो इस प्रकार हैं:
- क्रमचयी गुणधर्म। यह स्थापित करता है कि जोड़ का क्रम परिणाम को नहीं बदलता है, अर्थात a + b बिल्कुल b + a के समान है, और दोनों ही मामलों में समान परिणाम प्राप्त होता है।
- संबंधी संपत्ति। यह स्थापित करता है कि तीन या अधिक तत्वों को जोड़ते समय, अंतिम परिणाम को बदले बिना, उन्हें पहले हल करने के लिए उनमें से दो को समूहित करना संभव है, चाहे वे कुछ भी हों। यानी अगर हम a + b + c जोड़ना चाहते हैं, तो हम दो तरीके चुन सकते हैं: (a + b) + c या a + (b + c), बिना परिणाम को प्रभावित किए।
- पहचान संपत्ति। यह स्थापित करता है कि ऑपरेशन में शून्य एक तटस्थ तत्व है, इसलिए इसे किसी अन्य संख्या के साथ जोड़ने पर हमेशा वही अंतिम संख्या प्राप्त होगी: a + 0 = a।
- बंद संपत्ति। यह स्थापित करता है कि योग का परिणाम हमेशा जोड़ के समान संख्यात्मक सेट से संबंधित होगा, जब तक कि ये एक ही सेट को साझा करते हैं। अर्थात्, यदि जोड़ a और b N (प्राकृतिक), Z (पूर्णांक), Q (अपरिमेय), R (वास्तविक) या C (जटिल) से संबंधित हैं, तो योग का परिणाम भी उसी समुच्चय का होगा।
जोड़ के उदाहरण
यहाँ कुछ सरल जोड़ उदाहरण दिए गए हैं:
- एक महिला के पास चार फूल होते हैं, लेकिन उसका जन्मदिन होता है और उसे आठ फूल और दिए जाते हैं। दिन के अंत में उसके पास कितने फूल होते हैं? 4 फूल + 8 फूल = 12 फूल।
- एक चरवाहे के पास 15 भेड़ें हैं, जबकि उसके एक सहयोगी के पास 13 हैं। अगर वे अपने झुंडों को मिलाने का फैसला करते हैं, तो उनके पास कुल कितनी भेड़ें होंगी? 15 भेड़ + 13 भेड़ = 28 भेड़ें।
- एक सेब का पेड़ अपने मालिक को महीने में 5 सेब देता है। एक वर्ष के अंत में उसके पास कितने सेब होंगे? चूँकि एक वर्ष 12 महीने का होता है, इसलिए हमें साहचर्य गुण को लागू करते हुए 5 बारह बार जोड़ना होगा: (5 + 5) + (5 + 5) + (5 + 5) + (5 + 5) + (5 + 5) + ( 5 + 5) = (10 + 10) + (10 + 10) + (10 + 10) = 20 + 20 + 20 = 60 सेब एक वर्ष में।
भिन्नों का योग
भिन्न जोड़ते समय, भिन्न होते हैं तरीकों कि हम परिणाम प्राप्त करने के लिए आवेदन कर सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह उचित, अनुचित और मिश्रित भिन्न है या नहीं।
- समान हर से भिन्नों को जोड़ने की विधि। यह सबसे सरल मामला है, जिसमें हम केवल अंशों को जोड़ते हैं और समान हर रखते हैं। उदाहरण के लिए:
या
- तितली विधि। यह विधि हमें अलग-अलग हर के साथ किसी भी प्रकार के अंशों को जोड़ने की अनुमति देती है, बस पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना और इसके विपरीत, और फिर उत्पादों को जोड़ना (अंश को प्राप्त करने के लिए), और फिर प्राप्त करने के लिए हर को गुणा करना अंतिम अंश का भाजक। एक बार ये ऑपरेशन किए जाने के बाद, हमें अक्सर परिणाम कम करना होगा। उदाहरण के लिए:
- तीन भिन्नों को जोड़ने की विधि। इस मामले में, हम केवल पहले दो जोड़ते हैं और परिणाम में अंतिम जोड़ते हैं, पिछली विधि को लागू करते हैं और यदि आवश्यक हो तो परिणाम को कम या सरल करते हैं। उदाहरण के लिए:
