• कार्टेशियन विमान क्या है?
• कार्टेशियन विमान का इतिहास
• कार्टेशियन विमान किसके लिए है?
• कार्तीय तल के चतुर्थांश
• कार्तीय तल के अवयव
• कार्तीय तल में कार्य

हम बताते हैं कि कार्टेशियन विमान क्या है, इसे कैसे बनाया गया, इसके चतुर्थांश और तत्व। साथ ही, कार्यों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है।

कार्टेशियन विमान गणितीय कार्यों और समीकरणों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है।

कार्टेशियन विमान क्या है?

एक कार्तीय तल या कार्तीय निकाय कहलाता है a आरेख यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय संचालन के लिए उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल निर्देशांक (अर्थात, ज्यामितीय स्थान जो यूक्लिड द्वारा प्राचीन काल में तैयार की गई आवश्यकताओं को पूरा करता है)।

ग्राफिक रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है गणित के कार्य और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के समीकरण। यह आपको के संबंधों का प्रतिनिधित्व करने की भी अनुमति देता है गति और शारीरिक स्थिति।

यह एक द्वि-आयामी प्रणाली है, जो दो अक्षों से बनी है जो एक मूल से अनंत तक (एक क्रॉस का निर्माण) तक फैली हुई है। ये अक्ष एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (निर्देशांक मूल बिंदु या 0,0 बिंदु को दर्शाते हुए)।

प्रत्येक अक्ष पर के चिह्नों का एक सेट खींचा जाता है लंबाई, जो के रूप में सेवा करते हैं संदर्भ बिंदुओं का पता लगाने, आंकड़े बनाने या संचालन का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणित. दूसरे शब्दों में, यह बाद वाले को रेखांकन के संबंध में रखने के लिए एक ज्यामितीय उपकरण है।

कार्टेशियन विमान का नाम फ्रांसीसी दार्शनिक रेने डेसकार्टेस (1596-1650) के नाम पर रखा गया है, जो इस क्षेत्र के निर्माता थे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति.

कार्टेशियन विमान का इतिहास

रेने डेसकार्टेस ने 17 वीं शताब्दी में कार्टेशियन विमान का निर्माण किया।

कार्टेशियन विमान रेने डेसकार्टेस का आविष्कार था, जैसा कि हमने कहा है, दार्शनिक में केंद्रीय परंपरा पश्चिम की। उनका दार्शनिक दृष्टिकोण सदैव के उद्गम स्थल की खोज पर आधारित था ज्ञान.

उस खोज के हिस्से के रूप में, उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर व्यापक अध्ययन किया, जिसमें से वे खुद को पिता और संस्थापक मानते हैं। उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति को गणितीय रूप से समतल ज्यामिति के द्वि-आयामी तल में अनुवाद करने में कामयाबी हासिल की और समन्वय प्रणाली को जन्म दिया जिसका हम आज भी उपयोग और अध्ययन करते हैं।

कार्टेशियन विमान किसके लिए है?

निर्देशांक आपको कार्तीय तल पर बिंदुओं का पता लगाने की अनुमति देते हैं।

कार्टेशियन विमान एक आरेख है जिसमें हम प्रत्येक अक्ष पर उनके संबंधित निर्देशांक के आधार पर बिंदुओं का पता लगा सकते हैं, जैसे कि एक जीपीएस ग्लोब पर करता है। वहां से, गति को आलेखीय रूप से निरूपित करना भी संभव है विस्थापन समन्वय प्रणाली में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक)।

इसके अलावा, यह आपको ट्रेस करने की अनुमति देता है ज्यामितीय आंकड़े रेखाओं और वक्रों से द्वि-आयामी। ये आंकड़े कुछ अंकगणितीय परिचालनों के अनुरूप हैं, जैसे समीकरण, सरल संचालन इत्यादि।

इन संक्रियाओं को हल करने के दो तरीके हैं: गणितीय रूप से और फिर इसे रेखांकन करें, या हम ग्राफिक रूप से एक समाधान ढूंढ सकते हैं, क्योंकि कार्टेशियन विमान में जो दिखाया गया है, और जो गणितीय प्रतीकों में व्यक्त किया गया है, के बीच एक स्पष्ट पत्राचार है।

समन्वय प्रणाली में, बिंदुओं का पता लगाने के लिए हमें दो मानों की आवश्यकता होती है: पहला क्षैतिज X अक्ष के अनुरूप और दूसरा ऊर्ध्वाधर Y अक्ष के लिए, जो कोष्ठकों के बीच दर्शाया जाता है और अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है: उदाहरण के लिए, यह वह बिंदु है जहां दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

विमान बनाने वाली रेखाओं के संबंध में उनके स्थान के आधार पर ये मान सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं।

कार्तीय तल के चतुर्थांश

X और Y अक्ष कार्तीय तल को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं।

जैसा कि हमने देखा, कार्तीय तल का निर्माण दो निर्देशांक अक्षों के क्रॉसिंग द्वारा होता है, अर्थात्, दो अनंत सीधी रेखाएँ, जिन्हें अक्षरों से पहचाना जाता है एक्स (क्षैतिज) और दूसरी ओर यू (खड़ा)। यदि हम उन पर विचार करते हैं, तो हम देखेंगे कि वे एक प्रकार का क्रॉस बनाते हैं, इस प्रकार विमान को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं, जो हैं:

• चतुर्थांश I। ऊपरी दाएं क्षेत्र में, जहां प्रत्येक समन्वय अक्ष पर सकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: ।
• चतुर्थांश द्वितीय। ऊपरी बाएं क्षेत्र में, जहां अक्ष पर सकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है यू लेकिन नकारात्मक में एक्स. उदाहरण के लिए: (-1, 1)।
• चतुर्थांश III। निचले बाएँ क्षेत्र में, जहाँ दोनों अक्षों पर ऋणात्मक मानों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: (-1, -1)।
• चतुर्थांश चतुर्थ। निचले दाएं क्षेत्र में, जहां अक्ष पर नकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है यू लेकिन सकारात्मक में एक्स. उदाहरण के लिए: (1, -1)।

कार्तीय तल के अवयव

कार्तीय तल दो लंबवत अक्षों से बना है, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं: कोटि (अक्ष .) यू) और भुज (अक्ष .) एक्स) दोनों रेखाएं अपने सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्यों में अनंत तक फैली हुई हैं। दोनों के बीच एकमात्र क्रॉसिंग बिंदु को मूल (0,0 निर्देशांक) कहा जाता है।

मूल से शुरू होकर, प्रत्येक अक्ष को पूर्ण संख्याओं में व्यक्त किए गए मानों से चिह्नित किया जाता है। किन्हीं दो बिंदुओं का प्रतिच्छेदन बिंदु बिंदु कहलाता है। प्रत्येक बिंदु को उसके संबंधित निर्देशांक में व्यक्त किया जाता है, हमेशा पहले भुज और फिर कोटि। दो बिंदुओं को मिलाकर आप एक रेखा बना सकते हैं, और कई रेखाओं के साथ एक आकृति बना सकते हैं।

कार्तीय तल में कार्य

कार्तीय तल पर कार्यों को ग्राफिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

जब तक हम एक चर के बीच संबंध व्यक्त करते हैं, तब तक गणितीय कार्यों को कार्टेशियन विमान पर ग्राफिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है एक्स और एक चर यू जिससे इसका समाधान किया जा सके।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि का मान यू 4 होगा जब एक्स मान लीजिए 2 है, हम कह सकते हैं कि हमारे पास इस तरह एक व्यक्त कार्य है: y = 2x। फ़ंक्शन दोनों अक्षों के बीच संबंध को इंगित करता है, और दूसरे के मूल्य को जानने वाले एक चर को मूल्य देने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए यदि x = 1, तो y = 2. दूसरी ओर, यदि x = 2, तो y = 4, यदि x = 3, तो y = 6, आदि। निर्देशांक प्रणाली में उन सभी बिंदुओं को खोजने से, हमारे पास एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि दोनों अक्षों के बीच संबंध निरंतर और स्थिर, अनुमानित है। यदि हम अनंत की ओर सीधी रेखा को जारी रखते हैं, तो हम जानेंगे कि का मान क्या है एक्स किसी भी मामले में यू.

जो उसी तर्क यह अन्य प्रकार के कार्यों पर लागू होगा, अधिक जटिल, जो फ़ंक्शन में व्यक्त गणितीय संबंध के आधार पर घुमावदार रेखाएं, परवलय, ज्यामितीय आंकड़े या टूटी हुई रेखाएं उत्पन्न करेगा। हालांकि, तर्क वही रहेगा: चर को मान निर्दिष्ट करने और समीकरण को हल करने के आधार पर फ़ंक्शन को ग्राफिक रूप से व्यक्त करें।