हम समझाते हैं कि एक प्रमेय क्या है, इसके कार्य और इसके भाग क्या हैं। इसके अलावा, पाइथागोरस, थेल्स, बेयस और अन्य के प्रमेय।
एक प्रमेय क्या है?
एक प्रमेय a . है प्रस्ताव कि, कुछ मान्यताओं के आधार पर या परिकल्पना, एक गैर-स्व-स्पष्ट थीसिस का परीक्षण रूप से दावा कर सकता है (क्योंकि उस स्थिति में यह होगा a स्वयंसिद्ध) वे भीतर बहुत आम हैं औपचारिक भाषाएं, की तरह गणित हिलाना तर्क, क्योंकि वे कुछ औपचारिक नियमों या "खेल" नियमों का प्रतिपादन करते हैं।
प्रमेय न केवल के बीच स्थिर संबंधों का प्रस्ताव करते हैं परिसर और यह निष्कर्ष, लेकिन इसे साबित करने के लिए मूलभूत कुंजी भी प्रदान करते हैं। प्रमेयों का प्रमाण, वास्तव में, गणितीय तर्क का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, क्योंकि अन्य एक प्रमेय से प्राप्त किए जा सकते हैं और इस प्रकार औपचारिक प्रणाली के ज्ञान को बढ़ा सकते हैं।
हालांकि, गणितीय अध्ययन के क्षेत्र में, "प्रमेय" शब्द का प्रयोग केवल अकादमिक समुदाय के लिए विशेष रुचि के प्रस्तावों के लिए किया जाता है। इसके विपरीत, प्रथम-क्रम तर्क में, कोई भी सिद्ध कथन अपने आप में एक प्रमेय है।
शब्द "प्रमेय" ग्रीक से आया है प्रमेय, क्रिया से व्युत्पन्न लिखित, जिसका अर्थ है "चिंतन करना", "न्यायाधीश" या "प्रतिबिंबित करना", जिससे "सिद्धांत" शब्द भी आता है।
प्राचीन यूनानियों के लिए, एक प्रमेय सावधानीपूर्वक और सावधानीपूर्वक अवलोकन और प्रतिबिंब का परिणाम था, और यह उस समय के कई दार्शनिकों और गणितज्ञों द्वारा बहुत बार इस्तेमाल किया जाने वाला शब्द था।वहां से "प्रमेय" और "समस्या" शब्दों के बीच अकादमिक भेद भी आता है: पहला सैद्धांतिक है और दूसरा व्यावहारिक है।
प्रत्येक प्रमेय के तीन भाग होते हैं:
- परिकल्पना या परिसर. यह तार्किक सामग्री है जिससे निष्कर्ष निकाला जा सकता है और इसलिए, इससे पहले होता है।
- थीसिस or निष्कर्ष. यह वही है जो प्रमेय में कहा गया है और जिसे औपचारिक रूप से परिसर द्वारा प्रस्तावित किया जा सकता है।
- उपफल। वे वे कटौतियाँ या द्वितीयक और अतिरिक्त सूत्र हैं जो प्रमेय से प्राप्त होते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय मानव जाति के लिए ज्ञात सबसे पुराने गणितीय प्रमेयों में से एक है। इसका श्रेय समोस के यूनानी दार्शनिक पाइथागोरस (सी। 569 - सी। 475 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, हालाँकि यह माना जाता है कि यह प्रमेय बहुत पुराना है, संभवतः बेबीलोनियन मूल का है, और पाइथागोरस इसे साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे।
यह प्रमेय प्रस्तावित करता है कि, दिया गया a त्रिकोण आयत (अर्थात कम से कम एक समकोण हो), समकोण (कर्ण) के विपरीत त्रिभुज की भुजा की लंबाई का वर्ग हमेशा अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्ग के योग के बराबर होगा (पैर कहा जाता है)। यह इस प्रकार बताया गया है:
किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
और निम्न सूत्र के साथ:
एक2 + बी2 = सी2
कहाँ पे एक यू बी पैरों की लंबाई के बराबर और सी कर्ण की लंबाई तक। वहाँ से, तीन उपफल भी निकाले जा सकते हैं, अर्थात् व्युत्पन्न सूत्र जिनका व्यावहारिक अनुप्रयोग और बीजगणितीय सत्यापन है:
एक = √सी2-बी2
बी = c2 - a2
सी = √a2 + b2
पाइथागोरस प्रमेय को पूरे इतिहास में कई बार सिद्ध किया गया है: पाइथागोरस द्वारा स्वयं और अन्य जियोमीटर और गणितज्ञों जैसे यूक्लिड, पप्पस, भास्कर, लियोनार्डो दा विंची, गारफील्ड, आदि द्वारा।
थेल्स प्रमेय
ग्रीक गणितज्ञ थेल्स ऑफ मिलेटस (सी। 624 - सी। 546 ईसा पूर्व) के लिए जिम्मेदार, यह दो-भाग प्रमेय (या एक ही नाम वाले ये दो प्रमेय) संबंधित हैं ज्यामिति त्रिभुजों में से, इस प्रकार है:
- थेल्स के पहले प्रमेय का प्रस्ताव है कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा को समानांतर रेखा से आगे जारी रखा जाए, तो एक बड़ा त्रिभुज लेकिन समान अनुपात का प्राप्त होगा। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
दो आनुपातिक त्रिभुजों को देखते हुए, एक बड़ा और एक छोटा, बड़े त्रिभुज (A और B) की दो भुजाओं का अनुपात हमेशा छोटे वाले (C और D) की समान भुजाओं के अनुपात के बराबर होगा।
ए/बी = सी/डी
ग्रीक इतिहासकार हेरोडोटस, थेल्स के अनुसार, इस प्रमेय ने मिस्र में चेप्स के पिरामिड के आकार को मापने के लिए, विशाल आकार के उपकरणों का उपयोग किए बिना कार्य किया।
- थेल्स के दूसरे प्रमेय का प्रस्ताव है कि एक परिधि जिसका व्यास AC है और केंद्र "O" (A और C से भिन्न) है, एक समकोण त्रिभुज ABC इस प्रकार बनाया जा सकता है कि
इससे दो परिणाम निकलते हैं:
- किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण के संगत माध्यिका की लंबाई हमेशा कर्ण की आधी होती है।
- किसी भी समकोण त्रिभुज की परिबद्ध परिधि की त्रिज्या हमेशा कर्ण के आधे के बराबर होती है और इसका परिकेन्द्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होगा।
बेयस प्रमेय
बेयस का प्रमेय अंग्रेजी गणितज्ञ थॉमस बेयस (1702-1761) द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1763 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित हुआ था। यह प्रमेय एक घटना "ए दिए गए बी" होने की संभावना को व्यक्त करता है और एक घटना "बी दिए गए ए" की संभावना के साथ इसका संबंध व्यक्त करता है। " के सिद्धांत में यह प्रमेय बहुत महत्वपूर्ण है संभावना, और निम्नानुसार तैयार किया गया है:
इसका मतलब यह है कि किसी घटना (ए) की संभावना की गणना करना संभव है यदि हम जानते हैं कि यह घटना के लिए एक निश्चित आवश्यक शर्त को पूरा करती है, कुल संभाव्यता प्रमेय के विपरीत।
अन्य ज्ञात प्रमेय
अन्य प्रसिद्ध प्रमेय हैं:
- टॉलेमी का प्रमेय। यह मानता है कि प्रत्येक चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं के युग्मों के गुणनफलों का योग उनके विकर्णों के गुणनफल के बराबर होता है।
- यूलर-फर्मेट प्रमेय। उनका कहना है कि हाँ एक यू एन हैं पूर्णांकों रिश्तेदार चचेरे भाई, तो एन को विभाजित करता है ए (एन) -1.
- लैग्रेंज का प्रमेय। उनका कहना है कि हाँ एफ एक बंद अंतराल पर एक सतत कार्य है [ए, बी] और खुले अंतराल (ए, बी) पर अवकलनीय है, तो एक बिंदु मौजूद है सी पर (ए, बी) इस तरह कि उस बिंदु पर एक स्पर्श रेखा बिंदु के माध्यम से छेदक रेखा के समानांतर है (ए, एफ(ए)) और (बी, एफ(बी))।
- थॉमस प्रमेय। उनका तर्क है कि यदि लोग किसी स्थिति को वास्तविक रूप में स्थापित करते हैं, तो वह स्थिति उसके परिणामों में वास्तविक हो जाती है।